1517. 若没有研究者（至少部分研究者）精深的数学技能，所有高等物理问题对我们而言都将无从破解；若普通学生缺乏足够的数学能力，便无法理解这些解决方案所依赖的证据之本质与说服力。数学不仅是我们可随意选择进入的一道门，更是通往思想中广阔重要领域的唯一途径。——约翰·文恩《符号逻辑》（1894年），引言第xix页
夫研物理之奥者，非有鸿儒精娴算学，虽高深之题莫能破也；诸生若乏数理根基，则解证之要、论据之信，终不可明。算学非独一门户可择入，实乃通幽思、达玄理之必由径也。
——约翰·文恩《符号逻辑》（光绪二十年）引言第十九页
1518. 真正的数学物理学家和数学天文学家的高超技艺，很大程度上体现在他们能将基于严格数学推导的方法与结果加以调整，以获取足以满足物理测量需求的近似解。或许有人认为，一套坦率承认近似性的数学体系，已能完全满足物理学、工程科学及天文学的实际应用需求，甚至可能在此基础上发展出某种数学分支。然而，这样的体系在表述结果时难免陷入难以忍受的繁琐冗长——尤其是考虑到不同目的所需的近似精度差异巨大，因而必须为未定等级的近似预留空间。此外，遵循此路径的数学家将被切断灵感的源泉：精确性与逻辑严谨性的理想，以及发现过程中不可或缺的指南——数学形式的对称性与恒久性。数学思想实际演进的历史表明，这些理想正是科学的命脉，并印证了一个结论：对这些理想的不懈追求，是学科蓬勃发展的绝对必要条件。这些理想根植于人类思维不可抗拒的冲动与深层次需求，体现在其努力为思想世界中某些宏大领域赋予可理解性的过程中。——E.w.霍布森，英国科学促进会A分会主席致辞（1910年），《自然》第84卷第285-286页
夫善治数理物理、天文之学者，其巧在以严算推证为基，权变而求近似，以副实测之需。或谓：建近似之制，足应物理、工造、天文之用，或可立算学一支。然此说有二弊：其一名相繁琐，以精度异趣，必留未定之阶，文辞冗沓难胜；其二断灵感之源——精确之诣、逻辑之谨，及算式对称恒久之则，皆发现之指南也。稽算学演进之迹，此数者实科学之命脉，足证守正求极，乃学术昌明之要。盖此理想本乎人心深求，欲令玄思之域昭然可解耳。
——E.w.霍布森（英），宣统二年英国科学促进会A部演辞，载《自然》第八十四卷第285-286页
1519. 这些法则［数与广延的法则］在赋予其他物理科学分支演绎特性方面的重要作用众所周知；考虑到一切因果关系皆遵循数学法则运作，这并不令人惊讶。结果总是依赖于作用因素的量（用数学语言表述即函数关系），通常还与其位置相关。因此，我们若要对因果关系进行推理，每一步都离不开量与广延的考量；当现象性质允许我们获得足够精确的数值数据时，量的法则便成为推算未来结果或追溯既往原因的核心工具。——J.S.密尔《逻辑体系》第3卷第24章第9节
数与形之律，于他学贯以演绎之法，其功素着。盖因果之变，莫循算律：果必系乎因之量（算曰），亦常因位而异。是以推寻因果，步步需察量度形制；若现象可征确数，则算律为知来溯往之圭臬也。
——J.S.密尔《逻辑体系》第三卷第二十四章第九节
1520. 任何应用科学的常规数学处理，都以精确公理替代经验所得的近似结果，并从中推导出严格的数学结论。运用此法时切不可忽视：超越科学精确限度的数学推演毫无实用价值。由此可见，大部分抽象数学理论因找不到实际应用场景而束之高阁——数学能在某门科学中有益应用的体量，与该科学所能达到的精确程度成正比。因此，天文学家能运用广泛的数学理论，化学家却刚开始应用一阶导数（即某些过程的瞬时变化率）；至于二阶导数，迄今似乎仍未找到用武之地。——F.克莱因《数学讲座》（1911年），第47页
凡治应用之学，常以精算公理代经验之似，推衍严证。然须明：逾科学所及之准，虽妙算无以致用。是以抽象诸论，多因无施而束阁——算学于某学之益，与该学精审之度相侔。故天文可广用算理，化学始用一阶微分，二阶之术，至今未闻所施。
——F.克莱因《数学讲座》（宣统三年）第四十七页
1521. 联结各门物理科学的纽带，是渗透其中的数学精神与数学方法……我们对于自然的认识在推进过程中，持续将质的差异转化为量的差异。所有关于量的精确推理——实则是所有推理——皆为数学推理；因此随着知识增长，其中数学化的部分将以更迅猛的速率扩张。——h.J.S.史密斯，英国科学促进会A分会主席致辞（1873年），《自然》第8卷第449页
夫数理之道，犹丝缕然，贯串诸物理之学。数学之精魄、方法之妙要，无往而不在焉。吾人探索自然，若抽茧剥蕉，恒将质之殊异，化而为量之等差。凡量之精审推求，即一切推求之理，皆属数学之推衍。是以学问愈进，则数理之域，其拓也愈速，若燎原之火，不可遏抑矣。
——h.J.S.史密斯，英吉利科学促进会甲部主席致辞（1873年），载于《自然》第八卷第四百四十九页
1522.另一种让我们确信数学被物理同化之进程已如此深远的方式是：试想一场知识灾难（假设其可能发生），将人类关于数学的所有知识彻底抹去。数学的离去难道不意味着物理学的毁灭吗？客观物理现象固然会如现在一般存在，但物理科学将不复存在。我们或许仍能在分光镜或偏振光镜中看到相同的颜色，振动的琴弦仍会发出相同的声音，电机仍会产生火花，检流计指针仍会偏转；但所有这些都将失去意义，它们不过是如今鲜活生长的科学的“散落骨架”。若进一步深究这一构想，尝试具体想象：假设所有数学概念被抹去，物理知识会残留何种形态？这固然十分有趣，但会直接将我们带入一片模糊混乱的领域——主观与客观似乎总在彼此混淆，而我至少不敢在此引路，尽管我乐于跟随任何能指明坚实立足点的人。不过，即便不冒险深入这片困惑之地，仅从安全距离观望，我们也能清楚看到：数学是物理学的结缔组织，它将原本只是零散观察列表的内容，绑定为一个系统化的科学整体。
——G.c.福斯特
英国科学促进会A分会主席致辞（1877年）；《自然》第16卷，第313页
欲确证数学融入物理学之深广，可作此想：设若一场智识浩劫（若其可能）荡涤人类所有数学知识，其结果岂非物理学之消亡？客观物理现象固如现存，然物理科学将不复存在。吾人或仍可见分光镜、偏振光镜中相同色彩，振弦仍发相同声响，电机仍迸火花，检流计指针仍偏；然此等现象皆失其意义，不过是今日本为鲜活生长之科学“散落残肢”。若再深究此构想，试具体揣度：设使数学概念尽皆湮灭，残存之物理知识当是何种形态？此虽饶有趣味，却直引吾人入混沌之境——主观与客观似总相淆，而我至少不敢为导，虽愿紧随能指明立足之处者。然即便不涉险深入，仅从安全之距望之，亦可见数学实为物理学之结缔组织，将本为零散观察之列表，织就为系统科学之体。
——G.c.福斯特
英国科学促进会A分会主席致辞（1877年）；《自然》第16卷，第313页
1523.在柏拉图时代，数学纯粹是自由智性的游戏；毕达哥拉斯式的数学神秘遐想，预示着某种深远意义，但这种意义（除音乐外）当时完全属于幻想；即便如此，数学在那时已是所有其他研究的前提！而如今，当数学成为我们表述最普适自然法则的唯一语言（这些法则是古人几乎未曾设想的），甚至成为理解这些法则的唯一途径时——当今又有多少人真正了解数学的本质？在如今的学校里，数学仅作为一门训练性学科，一种思维体操；而数学包含着理解宇宙的最高理想价值，在当下的教育模式中，这几乎无人敢想。
——F.林德曼
《数学的教与学》（慕尼黑，1904年），第14页
柏拉图时代，数学纯为自由智性之游戏；毕达哥拉斯式数学神秘之玄思，已预示深远意义，然此意义（除音乐外）彼时纯属空想；即便如此，数学于当时已是诸学之先备！今时今日，数学既为表述最普适自然法则之唯一语言（此等法则古人几未想见），更成理解此法则之唯一途径——然今之学者，几人真知数学之本质？今之学堂中，数学仅作训练之学、思维之体操；而数学含摄理解宇宙之最高理想价值，以今日教育观之，此念几不敢想。
——F.林德曼
《数学之教与学》（慕尼黑，1904年），第14页
1524.数学的所有应用都在于：将我们对有限数量或可及现象领域的经验知识，拓展到未知与不可及的领域；而纯分析的许多进展则在于：发明以符号标记的复杂运算的确定概念，将其作为独立研究对象探明性质，并将其意义拓展至最初发明时的界限之外——由此开辟出新的、更广阔的思维领域。
——J.t.默茨
《19世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1903年），第1卷，第698页
数学之一切应用，皆在将吾人对有限量或可及现象域之经验知识，延展至未知与不可及之域；而纯分析之诸多进展，则在于创设以符号标记之复杂运算的确切概念，将其作为独立研究对象探明性质，并将其意义超越初创时之限——由此开辟更广之思维疆域。
——J.t.默茨
《19世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1903年），第1卷，第698页
1525.自然的所有效应，都只是少数不变法则的数学结果。
——拉普拉斯
《概率的哲学 essay》[特鲁斯科特与埃默里译]（纽约，1902年），第177页；《全集》第7卷，第139页
自然之一切效应，不过是少数恒常法则之数学结果。
——拉普拉斯
《概率哲学论》[特鲁斯科特、埃默里译]（纽约，1902年），第177页；《全集》第7卷，第139页
1526.对数之于数学，正如数学之于其他科学。
——诺瓦利斯
《着作集》（柏林，1901年），第2部分，第222页
对数于数学之意义，正如数学于他科之意义。
——诺瓦利斯
《着作集》（柏林，1901年），第2部，第222页
1527.如今，任何有才智之人只要下定决心钻研数学数年，所掌握的知识就能超过伟大的牛顿经过半个世纪研究与思索所知晓的。
——麦考利
《弥尔顿；评论与杂文集》（纽约，1879年），第1卷，第13页
今之智者，若笃志攻数载之算学，其所获或可逾牛顿穷半生研思之所得。
——麦考利
《弥尔顿；评论与杂文集》（纽约，1879年），第一卷，第十三页
1528.在科学问题上，一千个人的权威抵不上一个普通人的谦逊推理。
——伽利略
引自古拉戈《拉普拉斯颂词》；《史密森尼学会报告》，1874年，第164页
于格物之学，千人之威权，不抵匹夫之精思。
——伽利略
引自阿拉戈《拉普拉斯颂》；《史密森学会报告》，光绪元年，第一百六十四页
1529.工匠背后是化学家，化学家背后是物理学家，物理学家背后是数学家。
——w.F.怀特
《基础数学便览》（芝加哥，1908年），第217页
匠作之妙，资于化学；化学之奥，本于物理；物理之精，归于算术。
——w.F.怀特
《初等算学札记》（芝加哥，光绪三十四年），卷中第二百一十七页