第十五章
数学与科学
1501.为何那些依赖数学的其他科学知识需要费力探寻，而无人愿意花心思钻研数学本身？若不是深知人人都觉得数学极其简单，且早已发现人类心智总是忽视自认为容易的事物，急于追逐新奇高深之物，我定会为此感到诧异。
——笛卡尔
《思维的指导法则；笛卡尔的哲学》[托里译]（纽约，1892），第72页
诸学多倚数理为基，然世人苦求他学，独疏此道，何也？非不知众皆视之为易，亦非未察人心之态：轻其易者，骛其新者。若昧于此，吾必诧之。
——笛卡尔《思之轨范·笛卡尔哲语》（托里译，纽约，一八九二年，第七十二页）
1502.所有定量的测定都由数学掌控。由此立刻可知，任何忽视数学、不与数学结合、不借助其力量区分因定量变化必然产生的多样形态的思辨，要么是空洞的思维游戏，要么至多是徒劳的努力。在思辨领域，许多事物并非源于数学，也不关注数学。我绝非断言这些事物全是无用的杂草，其中或许有许多高贵的植株，但没有数学，它们都无法完全成熟。
——约翰·弗里德里希·赫尔巴特
《着作集》[凯尔巴赫编]（朗根萨尔察，1890），第5卷，第106页
凡量之测度，皆归数理。由此观之，凡思辨之学，若忽数理、不与之相济，又不假其力以辨量之变所生之殊态，非虚言妄论，则徒劳无功耳。思辨之域，虽不乏佳构，然离数理则难臻圆熟，犹嘉禾失沃土，终难丰茂。
——赫尔巴特《文集》（凯尔巴赫编，朗根萨尔察，一八九〇年，第五卷，第一百零六页）
1503.我们所知的事物中，很少不能被转化为数学推理。若不能，便表明我们对其认知极为有限且模糊。当存在数学推理的可能时，若使用其他方法，就如同身边点着蜡烛却偏要在黑暗中摸索一样愚蠢。
——约翰·阿巴思诺特
引自理查德·托德亨特《概率论史》（剑桥与伦敦，1865），第51页
天下可究之物，鲜不能以数理推之。若不可推，则知之未深，识之未明也。数理既具，犹秉烛而行，若舍之而求诸暗，岂非愚哉？
——阿巴思诺特 引自托德亨特《概率论史》（剑桥、伦敦，一八六五年，第五十一页）
1504.数学分析是我们全部实证知识体系的真正理性基础。
——奥古斯特·孔德
《实证哲学》[马蒂诺译]，第1卷，第1章
数理析理，实为吾辈实证之学之根基，理之所在，无可易也。
——孔德《实证哲论》（马蒂诺译，第一卷，第一章）
1505.唯有通过数学，我们才能透彻理解真正的科学。唯有在此，我们才能最高程度地发现科学规律的简洁与严谨，以及人类心智所能达到的抽象高度。任何从其他起点出发的科学教育，都存在基础缺陷。
——奥古斯特·孔德《实证哲学》[马蒂诺译]，第1卷，第1章
欲明格致之真义，非究数理不可。数理之妙，简而有法，严而不忒，其抽象之境，极人心之所能至。若他途而求格致，犹筑室于沙，终非正道。
——孔德《实证哲论》（马蒂诺译，第一卷，第一章）
1506.在当下的知识状态中，我们与其将数学视为自然哲学的组成部分，不如说自笛卡尔和牛顿时代以来，数学一直是整个自然哲学的真正基础——尽管严格来说，它既是组成部分，又是基础。对我们而言，数学的价值与其说在于它所包含的知识（尽管这些知识充实且珍贵），不如说它是人类心智在探究自然现象规律时所能运用的最强有力的工具。
——奥古斯特·孔德《实证哲学》[马蒂诺译]，导论，第2章
自笛卡尔、牛顿以降，数理于格物之学，非独为其支流，实乃根本。其学之妙，非仅在识见之富，更在探赜索隐、穷究物理之能，实为格物致知之利器也。
——孔德《实证哲论》（马蒂诺译，导论，第二章）
1507.数学的概念即一般科学的概念。
——诺瓦利斯《着作集》（柏林，1901），第2部分，第222页
数理之旨，即格致之精要，二者其义一也。
——诺瓦利斯《文集》（柏林，一九〇一年，第二卷，第二百二十二页）
1508.我认为，每一门自然科学只有在具备数学属性时，才是真正的科学……或许存在无需数学的一般自然哲学（即仅关注自然一般概念的哲学），但涉及特定对象的纯粹自然科学（如物理学或心理学），只能借助数学得以实现。由于每门自然科学包含的真正科学成分与其先验知识的多少成正比，因此，每门自然科学成为真正科学的程度，取决于其允许数学应用的程度。
——伊曼努尔·康德《自然科学的形而上学基础·序言》
夫格物诸学，唯涉数理者，方得为实学。或谓离数理亦可成自然之哲，然欲穷物理、究心性，非假数理不可。盖实学之深，与先天之知相埒，而数理之用，实定其高下也。
——康德《自然科学形而上学原理·序》
1509.教师中最盛行的观点是：数学为推理能力提供最佳训练……而在我看来，现代的正确观点是：数学是自然科学的抽象形式，其作为推理能力训练的价值，并非源于抽象性，而是因为它是实际事物的表征。
——塞缪尔·特纳·萨福德《数学教学等》（波士顿，1886），第9页
世之师者多言，数理最益思辨。然今之正论以为：数理者，格物之抽象也。其益思辨，非以其玄，实以其能摹万物之态耳。
——萨福德《数学教授说略》（波士顿，一八八六年，第九页）
=1510.= 在我看来，没有哪一门科学能像数学——这门“科学之后”——那样，如此出色地起到协调并将所有科学紧密相连的作用。
——E.w.戴维斯
《内布拉斯加科学院1896年会议记录》（林肯，1897），第282页
窃以为，群学之中，莫若算学之为用也。算学者，群学之魁首，若绳墨之于百工，枢纽之于万机，能统摄诸学，融贯众说，使之脉络相通，本末相系。
——E.w.戴维斯
《内布拉斯加科学院一八九六年会刊》（林肯，一八九七年），第二百八十二页
=1511.= 至于混合数学，我只能做出这样的预测：随着自然的奥秘被进一步揭示，这类数学的种类必将不断增多。
——弗朗西斯·培根
《学术的进展》第二卷；《新工具》第三卷
至于兼综之算学，可预言之：天地之奥，愈阐愈彰，则算学之属类，亦必日益繁衍，未可限量也。
——弗朗西斯·培根
《崇学论》第二卷；《广学论》第三卷
=1512.= 除了能锻炼敏锐的理解力并助力真理的可靠发现外，数学还具有另一项塑造性功能：它能让思维具备审视科学体系的能力。
——h.格拉斯曼
《算术教科书选段》；《着作集》（莱比锡，1904），第二卷，第298页
算学之益，非独能启心智之灵明，穷理致知，得其正鹄；更能涵养思维，使之具观览学术体系之能，若筑室有基，行远有车，为治学之津梁也。
——h.格拉斯曼
《算学教本节录》；《文集》（莱比锡，一九〇四年），第二册，第二百九十八页
=1513.= 数学既能帮助自然科学家构建假设，也能辅助他们评判他人提出的假设，尤其是那些涉及数学与其他学科结合的主题。
——罗伯特·波义耳《作品集》（伦敦，1772），第三卷，第429页
格物之士，藉算学以立说，以辨惑，其功大矣。凡格物之论，涉及数理者，必资算学为权衡，使理明而说正，不至流于虚妄。
——罗伯特·波义耳
《全集》（伦敦，一七七二年），第三卷，第四百二十九页
=1514.= 物理科学的发展程度越高，就越倾向于进入数学的领域——数学如同所有科学汇聚的中心。我们甚至可以通过一门科学被计算的难易程度，来判断它所达到的完善程度。
——凯特勒
引自卫·梅利为凯特勒所作的颂词；《史密森学会报告》，1874年，第173页
格物之学愈进，则愈入算学之域。算学者，群学之渊薮也。观一学之精粗，察其可用算学之浅深，便可知矣。
——凯特勒
引自梅利所撰凯特勒颂辞；《史密森学会报告》，一八七四年，第一百七十三页
=1515.= 数学公式是科学所获知识转化为实践效用的必经之点，也是实践、实验与观察所得知识在被科学掌握前必须汇聚的焦点。这个点越明确、越突出，从中发散的光芒就越集中，传达的见解也就越清晰无误。从牛顿简单的引力公式，到物理化学中更复杂的公式，再到有机生命中所谓更模糊的规律，直至心理学中不确定的陈述以及社会历史知识的数据，所有科学思维都有一个共同特征：试图将分散的知识之光汇聚于一个焦点，以便通过思维的抽象过程再次展开分析。但只有当这一过程能以数学的精确性完成时，其概念才会清晰明确，推论才会清晰无误。当我们从机械学向下跨越物理、化学、生物，直至心理、道德和社会科学时，这种“聚焦”过程的完善度会越来越低——尖锐的焦点被或大或小的圆圈取代，概念的轮廓愈发模糊，我们获得的光明中也混杂着诸多黑暗，成为许多错误的根源。但所有科学思维的趋势都是走向更清晰的定义，其方向在于不断拓展数学测量和数学公式的应用。
——J.t.默茨
《19世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1904），第一卷，第333页
算学公式者，犹群学之光隧，使学理得以达于实用；亦犹知识之渊府，聚实验、观察之所得，以待学理之融贯。其用愈精，则理愈明，见愈确。自牛顿引力之式，至理化之繁式，以及生民之律、心术之论、家国之故，皆欲汇散见为会通，纳万殊于一理。然必以算学之精审为要，而后义理昭彰，推论确凿。若自格物、理化、生物之学，下及心性、伦常、治世之学，则融会之功渐疏，精确之度渐减，犹日入崦嵫，光隐而暗生，致惑者众矣。然群学之大势，终归于精确，日益广算学之用，以穷理尽性，此不易之归趣也。
——J.t.默茨
《十九世纪欧洲思想史》（爱丁堡、伦敦，一九〇四年），第一卷，第三百三十三页
=1516.= 从研究之初，物理学家就必须持续依赖数学家的帮助。因为即使在最简单的情况下，其测量操作的直接结果若不经过或多或少的数学分析，也完全没有意义。而当通过这种方式对实验结果做出某种解释，并证明两个或多个物理量之间存在确定关系时，数学家往往能从这种关系的存在中推断出这些量还满足其他此前未被察觉的关系。例如，当库仑兼具实验者与数学家的双重角色，发现了两个电荷粒子间作用力的规律后，确定电荷在带电导体上的分布方式就成为了一个纯粹的数学问题，无需再做实验——而数学家已在多种情况下解决了这个问题。
——G.c.福斯特
《英国科学促进会A组主席致辞》（1877）；《自然》杂志，第16卷，第312-313页
格物之士，自始便须倚算学为助。盖即至简之验，若未以算学推求，亦如明珠蒙尘，莫知其用。及理有确证，数有定例，算家更能触类旁通，推未发之秘。昔库仑兼擅格致、数理，既明电荷相引之律，则电荷分布之理，虽不待实验，算家亦能解之，此其验也。
——G.c.福斯特
《英吉利科学会A部会长演说》（一八七七年）；《自然》杂志，第十六卷，第三百一十二至三百一十三页