=719.= 所有现代高等数学本质上都是关于运算规则（即思维规律）的演算体系。事实上，自古以来的数学皆然；不过现代高等微积分的开创者们明确意识到了这一点。因此，当今仍固执地将代数算术视为数的规律、将几何学视为表面与立体测量规律的初级教师们，正竭尽全力地把学生引向歧途——这将彻底阻碍他们未来真正理解高等代数。代数研究的从来不是数的规律，而是人类在探索数字过程中发现的思维运作规律；平面几何呈现的是古人测量表面积时发现的思维规律；立体几何则展现了当人类将几何拓展至三维空间时，所发现的额外思维规律。——布尔，m.E.《算术逻辑》（牛津，1903年）序言第18-19页
今世高等算学，究其本质，皆为演运算法度（即思维之律）之体系。溯其源流，古来之算学，莫不如此；唯今世创高等微积者，能洞见其理。今之蒙师，犹拘于旧说，以代数算术为数字之规，以几何为方圆度量之法，此乃误人子弟，使学者终难悟高等代数之奥。盖代数所研，非数字之律，实乃探数时所明思维之轨；平面几何者，古人测度面积所得思维之则也；立体几何者，展几何于三维之境，所获思维之新增条贯耳。
——m.E.布尔《算术理则》（牛津，1903年），序，页十八至十九
=720.= 古代数学与现代数学的本质差异不仅体现为前者对综合法的偏爱与对通用方法的排斥：在这种外在形式差异之下，还存在着更深层的根本性对立——二者对变量概念的运用态度截然不同。由于受埃利亚学派哲学思想影响，古人在严密体系中始终回避这一空间化的变量表达，仅在处理机械生成曲线时偶有涉及；而现代几何学的诞生，正始于笛卡尔跳出纯代数方程处理方式、转而研究代数式随变量连续变化而改变的那一刻。——汉克尔，赫尔曼《关于无限振荡与不连续函数的研究》；《奥斯特瓦尔德精密科学经典》第153号第44-45页
古算与今算之殊，非独现于古重综合、摒通法，今则异是；其深层根本之异，在于对待“变量”之态度。昔者，埃利亚学派之哲思浸染，古人于严整之学中，避谈“运动”（此空间化之变量表征），唯涉机械成曲之时，偶有触及。而降及今世，笛卡尔弃纯代方程之法，转而究代数式随变量递嬗之变，现代几何之基，由此奠定。
——赫尔曼·汉克尔《论无穷振荡与不连续函数》；《奥斯特瓦尔德精密科学经典》，第一百五十三号，页四十四至四十五
=721.= 复变函数的系统化与普遍化运用，无疑是上世纪数学最鲜明的特征之一。多数重大理论因它获得无可估量的助益，更有诸多理论直接因它而生。——皮尔庞特，J.《十九世纪数学史》；《艺术与科学大会论文集》（波士顿与纽约，1905年）第1卷第474页
上世纪算学之特色，莫着于复变函数之系统铺陈、广涉众域。诸多宏论，因之获益匪浅；更有学说，缘此应运而生。
——J.皮尔庞特《十九世纪算学史》；《学艺大会文编》（波士顿、纽约，1905年），卷一，页四百七十四
=722.= 必须着重强调：虚数概念在分析学中的核心地位，以及虚空间概念在几何学中的主导作用，正是贯穿整个现代分析与几何的最根本思想（此断言无论如何强调都不为过）。——凯莱，亚瑟《主席致辞》；《凯莱文集》第11卷第434页
虚数于析学之枢要，虚空间于几何之宰制，此乃贯串今之析学、几何之根本精义，虽千言万语，亦难尽其重！
——亚瑟·凯莱《会长演辞》；《凯莱文集》，卷十一，页四百三十四
=723.= 过去困扰数学无限的难题得以解决，或许是我们这个时代最值得夸耀的伟大成就。——伯特兰·罗素
《数学研究：哲学论文集》（伦敦，1910年），第77页。
往昔困厄数学于无穷之难题，今竟得解，此诚吾辈时代最足夸诩之伟大功业也。
——伯特兰·罗素《数学研究：哲学论文集》（伦敦，1910年），第77页
=724.= 归纳与类比是现代数学的鲜明特征，定理已让位于理论，任何真理都被视为无限链条中的一环。一切皆通向无限是他们钟爱的格言与公认的公理。——J·J·西尔维斯特
《为数学家辩护》；《自然》第1卷，第261页。
归纳与类比，乃现代数学之显着特征。定理渐次让位于理论，凡真理者，皆视若无穷链条之一环。“万物皆趋于无穷”，此其素所钟爱之格言，亦学界公认之公理也。
——J·J·西尔维斯特《为数学家辩护》；《自然》第1卷，第261页
=725.= 对应的概念在现代数学中扮演重要角色。它是秩序科学（区别于量值科学）的基础观念。如果说古代数学多受测量需求支配，现代数学则被秩序与排列的概念所主导。这种思维倾向或许与物理学的新发现同步：自然变化不仅取决于质量与能量的多少，更取决于它们的分布与排列方式。——J·t·梅尔茨
《十九世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1903年），第736页。
对应之概念，于现代数学中居核心地位。其为秩序科学（别于量值科学）之根本观念。古之数学，多因测量需求而生；今之数学，则以秩序与排列之理念为主导。此思维趋向，或与物理学之新发现相呼应：自然之变，非独系于质量、能量之多寡，更关乎其分布与排列之态也。
——J·t·梅尔茨《十九世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1903年），第736页
=726.= 在两个集合间建立对应关系，并研究通过该对应传递的命题，可称为现代数学的核心思想。——w·K·克利福德
《纯粹科学的哲学》；《演讲与论文集》（伦敦，1901年），第1卷，第402页。
于二集合间建立对应关系，并研析由此传递之命题，此可谓现代数学之核心思想。
——w·K·克利福德《纯粹科学的哲学》；《演讲与论文集》（伦敦，1901年），第1卷，第402页
=727.= 本世纪以来，替换与替换群、变换与变换群、运算与运算群、不变量、微分不变量及微分参数等概念，日益凸显为数学中最重要的思想。——索菲斯·李
《莱比锡报告》第47期（1895年），第261页。
自本世纪以来，替换与替换群、变换与变换群、运算与运算群、不变量、微分不变量及微分参数等概念，日益彰显为数学中最重要之思想。
——索菲斯·李《莱比锡报告》第47期（1895年），第261页
=728.= 自拉格朗日以来，观点与方法的普遍性、表述的精确性与优雅性，已成为所有自诩为科学数学家的共同追求。即便这种普遍性有时会因牺牲直观与应用性而显得晦涩（例如提出的某些广义定理竟不适用于任何特例）；即便精确性偶尔退化为刻意简练（导致阅读文章比撰写更费力）；即便形式优雅在当今几乎成了命题价值的评判标准——这些条件对健康发展仍至关重要，它们将科学材料约束在必要范围内，防止数学沉溺于琐碎或湮没于庞杂。——赫尔曼·汉克尔
《近世纪数学发展》（蒂宾根，1884年），第14-15页。
自拉格朗日以降，观点与方法之普遍性、表述之精确与优雅，已成自诩为科学数学家者之共同追求。纵其普遍性或因牺牲直观与应用性而晦涩（如所立广义定理竟无适例）；纵精确性偶流于刻意简练（致读文难于撰文）；纵形式优雅今几为评判命题价值之圭臬——然此诸端于学科健康发展犹为关键，可束科学素材于合理之域，免使数学沉溺于琐碎、湮没于庞杂也。
——赫尔曼·汉克尔《近世纪数学发展》（蒂宾根，1884年），第14-15页
=729.= 抽象方法近年来的发展，为数学注入了崭新而关键的原则，它提供了展现所有分支本质统一性的最强有力工具。——J·w·杨
《代数与几何基本概念》（纽约，1911年），第225页。
近年抽象方法之发展，为数学注入全新且关键之原则，乃彰显数学各分支本质统一性之最强有力工具也。
——J·w·杨《代数与几何基本概念》（纽约，1911年），第225页
=730.= 人人皆赞颂数学方法无与伦比的力量，却也无人不觉察其无与伦比的不受欢迎。——J·罗萨内斯
《德国数学家联合会年报》第13卷，第17页。
人人皆赞颂数学方法之无与伦比，然亦莫不觉察其不受欢迎之态。
——J·罗萨内斯《德国数学家联合会年报》第13卷，第17页
=731.= 诚然，现代数学的发展不仅是我们时代最令人瞩目的现象之一，更是最具标志性的现象。然而，号称普世化的日常媒体对此奇观竟出奇地无知；在科学与艺术的所有重大人类兴趣中，再没有哪个领域像数学这样，让受过教育的公众长期持有如此多谬见与低估。——c·J·凯泽
《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第8页。
诚然，现代数学之发展，不仅为吾辈时代最令人瞩目之现象，更堪称标志性之成就。然号称“普世化”之日常媒体，对此奇观竟漠然无知；于科学与艺术之诸般重大领域中，未有若数学者，令受教育之公众长久抱持诸多谬见，且低估其价值也。
——c·J·凯泽《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第8页
=732.= 可以毫不夸张地说，数学知识的领域是唯一尚未被我们无所不知的新闻业所掌握的领域。
——阿尔弗雷德·普林斯海姆
《论数学的价值与所谓无价值》；《德国数学家联合会年报》（1904年），第357页
诚可谓，数学之域，独为今世广涉诸学之传媒所未逮，此言非夸诞也。
——阿尔弗雷德·普林斯海姆
《论数学之价值与似若无值》，载《德意志数学会年报》（1904年），页357
=733.= 数学的特定领域，除非通过逻辑上先行的知识积累这一常规途径，否则难以接近。这使得那些意志薄弱或懒惰的人对数学学习感到沮丧或厌恶。
——阿瑟·勒费弗尔《数及其代数》（波士顿，1903年），第223节
数学诸专门之科，非循逻辑相承之学阶，无由探其堂奥。故惰者、怯者遇此，则望而生沮，甚或厌憎。
——阿瑟·勒费弗尔《数术与代数》（波士顿，1903年），第二二三节
=734.= 我们如今掌握的大多数数学真理，都以数个世纪的智力劳动为前提。因此，今天若有数学家想深入理解这一领域的现代研究，就必须以更快的节奏重新思考数个世纪以来的数学成果。新真理对旧真理的这种持续依赖，使数学成为一门极具排他性的科学，也使得通常无法为未入门的读者开辟一条快速理解高等数学真理的路径。正因如此，数学理论和成果很少适合通俗呈现……同样，数学的这种难以接近性，尽管为其在科学中赢得了崇高而高贵的地位，却也让那些从未学过数学、畏惧理解现代数学问题所需巨大劳动的人对其望而生畏。无论是在语言学科还是自然科学中，研究和成果都不会像数学这样紧密关联，以至于不经过长期的预备学习，就无法让未入门的学生了解这些科学的单个分支或特定成果。
——h. 舒伯特《数学随笔与娱乐》（芝加哥，1898年），第32页
今时数学之理，多赖累世哲匠殚精竭智。是以欲深明当代之学，必速览数百年间之积薪。新知旧理，环环相扣，此所以数学独成幽邃之科，难为未窥门径者辟捷径以通玄奥。缘此，其理其果，鲜能通俗布达……然数学之高深，虽使其位尊于诸学，亦令未习者望而却步，畏其研习之艰。他如语言、格物诸科，其论其证，未至若此盘根错节，故犹可使初学者略知一斑，无需尽历漫长之学程。
——h. 舒伯特《数学丛谈与雅趣》（芝加哥，1898年），页32